QC —ユニタリー演算子、干渉、エンタングルメントで量子コンピューティングを制御

Sagar Daniによる写真

すごい。 Qubit(Quantum bit —量子コンピューティングのコアビルディングブロック)についてパート2を終えました。 では、どうすればそれを制御できますか? 従来のコンピューティングとは異なり、キュービットには論理演算や一般的な算術を適用しません。 量子コンピューティングには「whileステートメント」や「分岐ステートメント」はありません。 代わりに、量子力学における干渉の原理でキュービットを操作するためのユニタリー演算子を開発します。 ファンシーに聞こえますが、実際には非常に簡単です。 ユニタリー演算子の概念を検討します。 付記として、シュレディンガー方程式との関係を調べますので、自然に対する概念を設計していません。 とうとう、エンタングルメント、つまり神秘的な量子現象を調べます。

量子ゲート

従来のコンピュータでは、基本的な論理演算子(NOT、NAND、XOR、AND、OR)をビットに適用して、複雑な演算を作成します。 たとえば、以下はキャリー付きのシングルビット加算器です。

量子コンピュータには、量子ゲートと呼ばれるまったく異なる基本的な演算子があります。 量子コンピューターで実行するために既存のC ++プログラムを再コンパイルすることはありません。 どちらにも異なる演算子があり、量子コンピューティングではそれらを利用するために異なるアルゴリズムが必要です。 量子コンピューティングでは、それはすべてキュービットの操作、絡み合い、測定のすべてです。 ブロッホ球に戻りましょう。 概念的には、量子計算操作は重ね合わせのΦとθを操作して、単位球の表面に沿って点を移動します。

数学的に言えば、重ね合わせは、行列の形の線形演算子Uで操作されます。

単一キュビットの場合、演算子は単純に2×2行列です。

シュレディンガー方程式(オプション)

自然は素朴に見えます! 数学は、高校で学ぶ線形代数にすぎません。 測定の合間に、状態は行列乗算を使用して線形演算子によって操作されます。 測定すると、重ね合わせが崩れます。 皮肉なことに、直線性はSFファンにとって大きな失望です。 これは量子力学の一般的な特性です。 それ以外の場合は、時間旅行や光よりも速く移動することがすべて可能です。 この線形演算子(正確にはユニタリー演算子)から始めると、量子力学の状態がどのように進化するかを説明する量子力学の基礎となるシュレディンガー方程式を導出できます。 反対の観点から、シュレディンガー方程式は自然の線形性を結論づけます。

ソース

ここでは、シュレディンガー方程式を次のように書き換えることができます。

ここで、Hはエルミートです。 それは、状態が自然の中で線形にどのように進化するかを示しています。

方程式は線形です。つまり、ψ1とψ2の両方がシュレディンガー方程式の有効な解である場合、

その線形結合は方程式の一般的な解です。

|0⟩と|1⟩がシステムの可能な状態である場合、その線形結合はその一般的な状態になります。つまり、量子計算における重ね合わせの原理です。

単一

私たちの現実の世界では、可能なすべての線形演算子を許可していません。 オペレーターは単一であり、次の要件を満たす必要があります。

ここで、U†はUの転置された複素共役です。例:

数学的には、単一演算子は基準を保持します。 これは、状態変換後の総確率を1に保ち、単位球の表面での重ね合わせを維持するための素晴らしい特性です。

以下のシュレディンガー方程式の解を見ると、自然は同じ単一の規則に従います。 Hはエルミートです(エルミートの転置複素共役はそれ自体に等しくなります)。 演算子をその転置複素共役で乗算すると、単位行列と等しくなります。

以下は、z方向に均一な磁場E₀があるHの例です。

ユニタリ演算を|ψ⟩に適用すると、z軸が回転します。

しかし、現実の世界での一体性の本当の意味は何ですか? これは、操作が可逆的であることを意味します。 可能な操作については、アクションを元に戻すことができる別の操作があります。 映画を見るのと同じように、映画を順方向に再生することができます。また、自然に対応するU†がビデオを逆方向に再生することができます。 実際、ビデオを順方向に再生しているか逆方向に再生しているかに気付かない場合があります。 ほとんどすべての物理法則は時間可逆です。 いくつかの例外には、量子力学の測定と熱力学の第二法則が含まれます。 量子アルゴリズムを設計する場合、これは非常に重要です。 従来のコンピュータでの排他的OR演算(XOR)は元に戻せません。 情報は失われます。 出力が1の場合、元の入力が(0、1)か(1、0)かを区別できません。

量子コンピューティングでは、演算子を量子ゲートと呼びます。 量子ゲートを設計するときは、それが単一であることを確認します。つまり、状態を元に戻すことができる別の量子ゲートが存在します。 これは重要です

演算子が単一の場合、量子コンピュータに実装できます。

一体性が証明されれば、少なくとも理論的には、エンジニアはそれを実装するために問題を抱えてはなりません。 たとえば、超伝導回路で構成されるIBM Qコンピューターは、異なる周波数と持続時間のマイクロ波パルスを使用して、ブロッホ球の表面に沿ったキュービットを制御します。

単一性を実現するために、この要件を満たすために入力の一部を出力することがあります。たとえば、冗長に見えても以下のようになります。

最も一般的な量子ゲートの1つである線形演算子が次の行列として定義されるアダマールゲートを見てみましょう。

またはディラック記法で

オペレーターをアップスピンまたはダウンスピン状態に適用する場合、重ね合わせを次のように変更します。

それが測定された場合、両方がスピンアップまたはスピンダウンする可能性が等しくなります。 ゲートを再度適用すると、元の状態に戻ります。

ソース

つまり、アダマールの転置共役はアダマールゲート自体です。

UU†を適用すると、元の入力に戻ります。

したがって、アダマールゲートは単一です。

量子計算は干渉とエンタングルメントに基づいています。 これらの現象を理解しなくても量子コンピューティングを数学的に理解することはできますが、それをすばやく実証しましょう。

干渉

波は建設的または破壊的に互いに干渉します。 たとえば、入力波の相対位相に応じて、出力を拡大または平坦化できます。

量子コンピューティングにおける干渉の役割は何ですか? 実験してみましょう。

マッハツェンダー干渉計(ソース)

最初の実験では、すべての入射光子が偏光状態|0⟩になるように準備します。 この偏光フォトンのストリームは、ビームスプリッターBの位置によって45°で均等に分割されます。つまり、ビームは2つの直交偏光に分割され、別々の経路で出ます。 次に、ミラーを使用して光子を2つの別々の検出器に反射し、強度を測定します。 古典力学の観点から見ると、光子は2つの別々の経路に分かれ、検出器に均等に当たります。

上記の2番目の実験では、検出器の前に別のビームスプリッターを配置しました。 直感的に、ビームスプリッターは互いに独立して動作し、光ストリームを2つに分割します。 両方の検出器が光線の半分を検出するはずです。 赤の1パスを使用して光子が検出器D₀に到達する確率は次のとおりです。

光子がD₀に到達する合計確率は、1パスまたは0パスのいずれかから1/2です。 したがって、両方の検出器が光子の半分を検出します。

しかし、それは実験結果と一致しません! D₀だけが光を検出します。 アダマールゲートを備えたビームスプリッターの状態遷移をモデル化してみましょう。 したがって、最初の実験では、スプリッター後の光子の状態は

測定すると、それらの半分は|0⟩になり、半分は|1⟩になります。 光ビームは2つの異なる経路に均等に分割されます。 したがって、アダマールゲートは従来の計算と一致します。 しかし、2番目の実験で何が起こっているのか見てみましょう。 前に示したように、すべての入力フォトンを|0⟩になるように準備し、それらを2つのアダマールゲートに渡すと、すべてのフォトンは再び|0⟩になります。 したがって、測定時にはD₀のみが光線を検出します。 両方の検出器の前で測定を実行しない限り、D₁に到達するものはありません。 実験は、古典的な計算ではなく、量子計算が正しいことを確認します。 ここで、2番目のアダマールゲートで干渉がどのように役割を果たすかを見てみましょう。

以下に示すように、同じ計算基準のコンポーネントは建設的または破壊的に互いに干渉して、正しい実験結果を生成します。

入力光子ビームを|1⟩にして、計算をやり直すことができます。 最初のスプリッター後の状態は、元のスプリッターと位相がπ異なります。 したがって、ここで測定すると、両方の実験で同じ測定が行われます。

ただし、アダマールゲートを再度適用すると、|0⟩が生成され、|1⟩が生成されます。 干渉は複雑な可能性を生み出します。

サイバーセキュリティに非常に重要な影響を与えるもう1つの楽しい実験を行います。

最初のスプリッターの後に別の検出器Dxを配置すると、実験により、両方の検出器が光子の半分を検出するようになります。 それは量子力学の計算と一致しますか? 次の式では、最初のスプリッターの後に測定を追加すると、重ね合わせで強制的に折りたたまれます。 最終結果は、追加の検出器がない場合とは異なり、実験結果と一致します。

自然は、光子がたどる経路がわかっている場合、両方の検出器が光子の半分を検出することを教えてくれます。 実際、パスの1つだけに1つの検出器を配置するだけでそれを実現できます。 両方の検出器の前で測定が行われない場合、光子が|0⟩になるように準備されていれば、すべての光子は検出器D₀に到達します。 繰り返しになりますが、量子方程式は信頼されたままですが、直感は間違った結論に導きます。

この現象には、1つの重要な意味があります。 追加の測定により、この例では元の干渉が破棄されます。 システムの状態は、測定後に変更されます。 これは、量子暗号の背後にある主要な動機の1つです。 ハッカーがあなたと送信者の間のメッセージを傍受(測定)した場合、測定がどれほど穏やかであるかに関係なく、そのような侵入を検出できるようにアルゴリズムを設計できます。 遮断すると測定パターンが異なるためです。 量子力学の非クローニング定理は、量子状態を正確に複製することはできないと主張しています。 そのため、ハッカーは元のメッセージを複製して再送信することもできません。

量子シミュレーションを超えて

物理学者であれば、量子ゲートの干渉動作を利用して、原子の世界で同じ干渉をシミュレートできます。 古典的な方法は、ゼロ以上の値を持つ確率理論で機能します。 実験では真実ではない独立性を前提としています。

量子メカニズムは、このモデルが間違っていると主張し、複雑で負の数のモデルを導入します。 確率理論を使用する代わりに、干渉を使用して問題をモデル化します。

それで、それは非物理学者に何をもたらすのでしょうか? 干渉は、単一の演算子と同じメカニズムとして扱うことができます。 量子コンピューターで簡単に実装できます。 数学的には、ユニタリー演算子は行列です。 キュービットの数が増えると、操作できる係数が指数関数的に増加します。 この単一の演算子(物理学者の目の干渉)により、これらのすべての係数を1回の操作で操作でき、大量のデータ操作の扉が開きます。

絡み合い

一般に、科学者はもつれがなければ、量子アルゴリズムは古典的なアルゴリズムよりも優位性を示すことができないと信じています。 残念ながら、その理由をよく理解していないため、アルゴリズムの可能性を最大限に活用するようにアルゴリズムを調整する方法がわかりません。 これが、量子コンピューティングを導入する際にもつれが頻繁に言及される理由ですが、その後はそれほどではありません。 このため、このセクションではエンタングルメントについて説明します。 あなたが秘密を破る科学者であることを願っています。

2キュービットの重ね合わせについて考えます。

| 10>は、2つの粒子がそれぞれダウンスピンとアップスピンにあることを意味します。

次の複合状態について考えてみます。

複合状態を次のような2つの個別の状態に分割できますか?

それが必要なので、私たちはできません:

量子力学は、直感的でない1つの概念を示しています。 古典力学では、システム全体を理解するには、各サブコンポーネントをよく理解する必要があると考えています。 しかし、量子力学では、

前に示したように、複合状態をモデル化し、測定を完全に予測できます。

しかし、それを2つの独立したコンポーネントとして説明または理解することはできません。

私はこのシナリオを50年間結婚したカップルとして想像します。 彼らは常に何をすべきかについて同意しますが、それらを別々の人として扱った場合、答えを見つけることができません。 これは過度に単純化されたシナリオです。 さまざまなエンタングルメント状態が考えられます

そして、キュービットの数が増えると、それらを説明するのがはるかに難しくなります。 量子演算を実行すると、コンポーネントがどのように相関(絡み合い)するかがわかります。 ただし、測定を行う前は、正確な値は公開されたままです。 エンタングルメントは、従来のアルゴリズムが効率的に模倣するためにはるかに豊富で、おそらくはるかに難しい相関を生成します。

これで、ユニビット演算でキュービットを操作する方法がわかりました。 しかし、量子アルゴリズムに興味がある人にとっては、最初に何が制限であるかを知っておくべきです。 そうしないと、量子コンピューティングで難しいことを見落とす可能性があります。 しかし、最初に量子ゲートについて詳しく知りたい場合は、最初の記事の前に2番目の記事を読むことができます。