いくつかの無限は他のものよりも大きいですか?

最も美しい数学的証明、vol。 1、マキシムクーテ。

余談ですが、私は数学者ではなく高校生で、1年間通学していない高校生であり、ほとんどがコンピューターサイエンスの熱心なプログラマーです。 とはいえ、私は数学を学び、このシリーズで私のお気に入りの数学的証明のいくつかの美しさを共有したいと思います。

ラファエルによる「アテネの学校」。 左下隅にアナキシマンダーがあり、そこから無限の最初の記録されたアイデアが出ています。

あなたは数える方法を知っていますか?

いくつかの無限大が他の無限大よりも大きくなる可能性があるかどうか疑問に思うとき、「より大きい」とは何を意味するかを知ることが重要であり、それは可算性を定義することを含みます。 これは、実際の経験から理解できます。リンゴを数えるときは、1から始めて、数えるリンゴがなくなるまで、1ずつ増加していきます。

つまり、各リンゴ、またはセット(またはバスケット)の任意の要素を、一意の正の整数とペアにします。 したがって、可算セットを、各要素をNの1つの一意の要素(自然数のセット{0、1、2、。)とペアにできるセットとして定義できます。 。 。}。

自然数のセットであるNの各要素をそれ自体の各要素とペアにできることは注目に値します。 したがって、Nは無数に無限の集合です。 無限の時間があれば、自然数の無限リストのすべての数を数えることができました…

自然数よりも多くの整数はありますか?

Zは、すべての整数のセット{…、-2、−1,0,1,2、…}であり、Nより大きい自然数のセット{0、1、2、。 。 。}? 奇妙な質問のようですね? 驚いたことに、Zが実際にはNと同じサイズであることを互いに証明したとき、親友と中学生の私が共有した興奮と喜びを覚えています。正確な用語は実際には「サイズ」ではありませんが、「カーディナリティ」は、セット内の要素の数を意味します。

証明は実際には非常に単純です。セットZの各負の数を一意の自然奇数にペアリングし、セットZの各正の数を一意の偶数にペアリングできます。 したがって、ZをNでカウントできます。

正の整数だけではなく正と負の整数があると考えるかもしれませんが、Zの各要素をNの一意の要素とペアにすることができます。

無限の時間でも数えられないもの、

ここでは、すべての実数の集合Rが数えられないことを証明します。これは、Cantorの対角引数を使用して行います。

まず、0から1までのすべての実数をリストできると仮定します。

たとえば、

次に、数値dを考えます。

d、リストの対角線でできている。 dの最初の数字はリストの最初の数字の最初の数字、dの2番目の数字はリストの2番目の数字の2番目の数字、というように、リスト全体に対角線上に数字を追加します。

だから、どんな私にとっても、

たとえば、このリストを考えると、

次に、数値xを作成します。

xのi番目の桁がdのi番目の桁と異なり、9と等しくないように

たとえば、d = 0.16392…の場合、x = 0.27413…を作成して、dの各桁について続行できます。これは、xi≠diがまだ8桁の可能性があるため、diは同じであるためです。

これで、xが0から1までのすべての実数のリストから欠落していることを証明できます。

構造上、xの最初の数字はdの最初の数字とは異なり、dの最初の数字はリストの最初の数字の最初の数字です。 したがって、xはリストの最初の数字が異なるため、リストの最初の数字にすることはできません。

構造上、xの2桁目はdの2桁目とは異なり、dの2桁目はリストの2番目の数字の2桁目です。 したがって、xは2番目の桁が異なるため、リストの2番目の番号にすることはできません。 これは、リストのすべての番号について続きます。

言い換えると、

構造上、それは真実ではあり得ないので、

0から1までのすべての実数のリストを作成すると、xは常に失われることを示しました。 この矛盾は、0と1の間のすべての実数のセットが数えられないことを証明し、したがって、すべての実数のセットであるRも数えられないことを証明します。 各実数を一意の自然数とペアにすることはできません。

これは、RのカーディナリティがNのカーディナリティよりも大きいため、一部の無限大は他の無限大よりも大きいことを意味します。

参考文献、Georg Cantor。 「Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre」。 1891年。

私は、コードとハードウェアをオープンソース化したVRヘッドセットであるRelativty.comの共同創設者であるMax Coutteです。 Twitter @maxcoutteで私に従ってください。