一部の無限大は他の無限大よりも大きいですか?

最も美しい数学的証明、vol。 1、マキシム・クッテ。

補足として、私は数学者ではなく、高校生(通年通学していません)であり、ほとんどがコンピューターサイエンス愛好家でプログラマーです。とは言うものの、私は自分で数学を学び、このシリーズで私のお気に入りの数学的証明の美しさを共有したいと考えています。

ラファエルによる「アテネの学校」。左下の角にはアナキシマンダーがあり、そこから最初に記録された無限のアイデアが生まれます。

カウント方法を知っていますか?

一部の無限大が他の無限大よりも大きくなる可能性があるかどうかを疑問に思うとき、「より大きい」とはどういう意味かを知ることが重要です。これは実生活の経験から理解できます。リンゴを数えると、1から始まり、数えるリンゴがなくなるまで毎回1ずつ増えていきます。

つまり、各リンゴ、またはセット(またはバスケット)の任意の要素を、一意の正の整数とペアにします。したがって、カウント可能なセットを、各要素をNの一意の要素である自然数のセット{0、1、2、。 。 。}。

自然数のセットであるNの各要素を、それ自体の各要素とペアにできることは注目に値します。したがって、Nは数え切れないほどの無限集合です。無限の時間がある場合、自然数の無限リストのすべての数をカウントできます…

自然数よりも多くの整数がありますか?

Z、すべての整数のセット{…、-2、-1,0,1,2、…}、Nよりも大きい自然数のセット{0、1、2、。 。 。}?奇妙な質問のようですね。 Zが実際にNと同じサイズであることを驚くほどお互いに証明したとき、親友と私が中学校に戻ったときの興奮と喜びを覚えています。ここで、正確な用語は実際には「サイズ」ではなくカーディナリティー」は、セット内の要素の数を意味します。

証明は実際には非常に簡単です。セットZの各負の数を一意の自然な奇数とペアにし、セットZの各正の数を一意の偶数とペアにすることができます。したがって、NでZをカウントできます。

正の整数だけではなく、正と負の整数の方が多いと考えるかもしれませんが、Zの各要素をNの一意の要素とペアにできます。

無限の時間でも数えられないこと、

ここで、すべての実数の集合Rが数えられないことを証明し、Cantorの対角引数を使用してこれを実行します。

まず、0から1までのすべての実数をリストできると仮定します。

例えば、私たちは、

次に、数dを考えます。

d、リストの対角線で作られている。 dの1桁目はリストの最初の数字の1桁目、dの2桁目はリストの2桁目の2桁目、というように、リスト全体に斜めに数字を追加します。

だから、私は、

たとえば、このリストが与えられた場合、

次に、数値xを作成します。

xのi番目の数字はdのi番目の数字とは異なり、9に等しくない

たとえば、d = 0.16392…の場合、x = 0.27413…を構成し、dの各桁について続行できます。これは、xi≠diでも8つの可能な桁diが等しいためです。

0から1までのすべての実数のリストからxが欠落していることを証明できます。

構成上、xの最初の数字はdの最初の数字とは異なり、dの最初の数字はリストの最初の数字の最初の数字です。したがって、xは最初の数字が異なるため、リストの最初の数字にすることはできません。

構成上、xの2桁目はdの2桁目とは異なり、dの2桁目はリストの2番目の数字の2桁目です。したがって、xは2番目の数字が異なるため、リストの2番目の数字にすることはできません。これは、リスト上のすべての番号について続きます。

言い換えると、

建設的には真実ではない

0から1までのすべての実数のリストを作成すると、xが常に欠落することが示されています。この矛盾は、0から1までのすべての実数の集合が数えられないことを証明しています。したがって、すべての実数の集合であるRも数えられません。各実数を一意の自然数とペアにすることはできません。

これは、RのカーディナリティがNのカーディナリティよりも大きいため、一部の無限大が他の無限大よりも大きいことを意味します。

参考文献、Georg Cantor。 「ユーバー・アイネ・エレメンタリーは、マニグファルティグケーツレフラーの怒り」。 1891。

私はRelativty.comの共同創立者であるMaxime Coutteです。Relativty.comは、ゼロから設計したVRヘッドセットで、コードとハードウェアをオープンソース化しました。学ぶのが大好きで、さまざまなテーマに興味があります。
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